Определение значений коэффициентов квадратичной функции по графику.
Методическая разработка Сагнаевой А.М.
МБОУ СОШ№44 г. Сургут, ХМАО-Югра .
Ι. Нахождение коэффициента а
- по графику параболы определяем координаты вершины (m,n)
2. по графику параболы определяем координаты любой точки А (х 1 ;у 1 )
3. подставляем эти значения в формулу квадратичной функции, заданной в другом виде:
у=a(х-m)2+n
4. решаем полученное уравнение.
А(х 1 ;у 1 )
парабола
ΙΙ. Нахождение коэффициента b
1. Сначала находим значение коэффициента a
2. В формулу для абсциссы параболы m= -b/2a подставляем значения m и a
3. Вычисляем значение коэффициента b .
А(х 1 ;у 1 )
парабола
ΙΙΙ. Нахождение коэффициента c
1. Находим ординату точки пересечения графика параболы с осью Оу, это значение равно коэффициенту с , т.е. точка (0;с) -точка пересечения графика параболы с осью Оу.
2. Если по графику невозможно найти точку пересечения параболы с осью Оу, то находим коэффициенты a,b
(см. шаги Ι, ΙΙ)
3. Подставляем найденные значения a, b ,А(х 1; у 1 ) в уравнение
у=ax 2 +bx+c и находим с.
А(х 1 ;у 1 )
парабола
Задачи
подсказка
Ιх 2 Ι , а х 1 0, т.к. a Ордината точки пересечения параболы с осью ОY – коэффициент с Ответ: 5 с х 1 х 2 " width="640"
- Ветви параболы направлены вниз,
- Корни имеют разные знаки,Ι х 1 ΙΙх 2 Ι , а х 1 0, т.к. a
- Ордината точки пересечения параболы с осью ОY – коэффициент с
х 1
х 2
П Подсказка
0 x 1 +x 2 = - b/a 0. a 0. Ответ: 5 " width="640"
1.Ветви параболы направлены вниз, значит а
- x 1 +x 2 = - b/a 0. a 0.
0 , т.к. ветви параболы направлены вверх; 2. с=у(0)3. Вершина параболы имеет положительную абсциссу: при этом а 0, следовательно, b4. D0, т.к. парабола пересекает ось ОХ в двух различных точках. " width="640"
На рисунке приведен график функции у=ax 2 +bx+c. Укажите знаки коэффициентов a,b,c и дискриминанта D.
Решение:
1. а0 , т.к. ветви параболы направлены вверх;
3. Вершина параболы имеет положительную абсциссу:
при этом а 0, следовательно, b
4. D0, т.к. парабола пересекает ось ОХ в двух различных точках.
На рисунке изображена парабола
Укажите значения k и t .
Найдите координаты вершины параболы и напишите функцию, график которой изображен на рисунке.
Найдите, где - абсциссы точек пересечения
параболы и горизонтальной прямой (см. рис.).
Тема урока: Функция y=aи её свойства.
Тип урока : Изучение нового материала.
Цели урока :
Задачи урока:
Формировать:
умение применять свойства квадратичной функции;
умение строить графики функции;
умения сформулировать свойства квадратичной функции;
умения высказывать свое мнение, делать выводы;
Развивать: мышление, память, умение осуществлять самостоятельную деятельность на уроке.
Методы обучения
по источнику знаний: беседа, упражнения;
по характеру познавательной деятельности: поисковый, объяснительно-иллюстративный, репродуктивный.
Формы обучения : фронтальная.
Этапы урока :
Организационный момент (1 мин).
Актуализация опорных знаний и способов действий (5 мин).
Изучение нового материала (15 мин).
Первичное применение нового материала (20 мин).
Постановка домашнего задания (1 мин).
Подведение итогов урока (3 мин).
| Деятельность учителя | Деятельность ученика |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| Организационный момент |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| Здравствуйте ребята, присаживайтесь. | Учащиеся рассаживаются, слушают учителя. |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| Актуализация опорных знаний и способов действий |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| Итак, начнем. Откройте тетради, запишите число, классная работа. Сегодня на уроке мы будем изучать новый материал. Перед тем, как перейти к новой теме, ответьте на несколько вопросов. Учитель задаёт ученикам вопросы - Что такое функция? Что называют графиком функции? С какими видами функции вы знакомы? Что называется линейной функцией? Что называется квадратичной функцией? С каким видом квадратичной функции вы уже работали? Как это функция получилась и как она называется? Сегодня вы познакомитесь с новым видом квадратичной функции. Поэтому записываем новую тему: «Функция и её свойства». | Записывают в тетради число, классная работа. Отвечают на вопросы учителя - Функция – зависимость одной переменной величины от другой. Графиком функции называют множество всех точек координатной плоскости, абсциссы которых равны значениям независимой переменной, а ординаты – соответствующим значениям функции. С линейной и квадратичной. Линейной функцией называется функция вида . - Квадратичная функция – это функция , где – заданные действительные числа, – действительная переменная. Это функция называется параболой. Так как квадратичная функция имеет вид , то парабола получилась при коэффициентах Записывают новую тему в тетрадь |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| Изучение нового материала |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| При а=1 формула принимает вид . Мы уже сказали, что графиком этой функции является парабола. Поэтому построим график функции . Записываем задача №1: Построить график функции . Давайте вызовем кого - нибудь к доске.
Как для любой другой функции, мы составляем таблицу значений. Какой график у нас получился? Следующая задача: Построить график функции К доске пойдёт …. Учитель вызывает к доске ученика Решаем также по аналогии с предыдущим примером. Теперь по данным точкам построим график. Соединим точки плавной кривой. Если мы сравним графики функций Как вы считаете, какими будут графики Куда тогда будут направлены ветви параболы графика ? После всех решенных примеров, какой вывод мы можем сделать по функции ? Теперь поговорим о свойствах функции . На доске записаны графики функции, по ним учитель рассказывает свойства 1)Если a0, то функция принимает положительные значения при ; если a принимает отрицательные значения при ; значение функции равно 0 только при х=0. 2)Парабола симметрична относительно оси координат. 3) Если a0, то функции возрастает при и убывает при если a убывает при и возрастает при . | Слушают учителя
Задача №1: Построить график функции . Решают вместе с учителем.
У нас получилась парабола. Записывают первое задание в тетрадь Задача №2: Построить график функции Решают вместе с учителем. Один из учеников выходит к доске Они будут симметричными, так как график будет иметь противоположные значения графика . Ветви параболы будут направлены вниз. График функции также является параболой. При a0 ветви направлены вверх, при a Слушают учителя |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| Первичное применение нового материала |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| А теперь попробуем на практике применить полученные знания. Открываем учебники на стр. 161 и записываем в тетради номера. Учитель вызывает учеников к доске для решения заданий Разберем устно №596. Определить направление ветвей параболы: Записываем в тетрадь №597 (1,3): На одной координатной плоскости построить графики функций Учитель вызывает ученика к доске | Открывают учебники и записывают номер в тетрадь Ученики у доски решают задания Устно проговаривают решение задачи 1) - вверх, т. к. a0 2) - вверх, т. к. a0 3) - вниз, т. к. a 4) -вниз, т. к. a Один из учеников выходит к доске |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| Постановка домашнего задания |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| Учитель сообщает домашнее задание. Наш урок подошел к концу. Запишите домашнее задание. Учитель записывает домашнее задание на доске. П 37 стр. 157. Выучить свойства. №595(2): На миллиметровой бумаге построить график функции . По графику приближенно найти значения х, если у=9; 6; 2; 8; 1,3. №597 (2,4): На одной координатной плоскости построить графики функций Используя графики, выяснить, какие из этих функций возрастают на промежутке . | Записывают домашнее задание. |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| Подведение итогов урока |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| Что мы изучили на уроке? Все ли вам было понятно? На этом наш урок закончен. Ученики, которые выходили к доске, подойдите ко мне с дневниками. До свидания! | Учащиеся отвечают на вопросы: Мы изучили новый вид квадратичной функции и её свойства. Прощаются с учителем. Подходят с дневниками. |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
, то мы заметим, что при одном и том же х значение функции в 2 раза больше значения функции . Это значит, что каждую точку графика можно получить из точки графика с той же абсциссой увеличением ее ординаты в 2 раза. Следовательно, график функции получается растяжением графика функции от оси Ох вдоль оси Оу в 2 раза.
, то мы заметим, что каждую точку графика можно получить из точки графика функции с той же абсциссой уменьшением ее ординаты в 2 раза. Следовательно, график функции получается сжатием графика функции к оси Ох вдоль оси Оу в 2 раза.
?