Это векторная физическая величина, численно равная пределу, к которому стремится средняя скорость за бесконечно малый промежуток времени:

Другими словами, мгновенная скорость – это радиус-вектора по времени.

Вектор мгновенной скорости всегда направлен по касательной к траектории тела в сторону движения тела.

Мгновенная скорость дает точную информацию о движении в определенный момент времени. Например, при езде в автомобиле в некоторый момент времени водитель смотрит на спидометр и видит, что прибор показывает 100 км/ч. Через некоторое время стрелка спидометра указывает на величину 90 км/ч, а еще спустя несколько минут – на величину 110 км/ч. Все перечисленные показания спидометра – это значения мгновенной скорости автомобиля в определенные моменты времени. Скорость в каждый момент времени и в каждой точке траектории необходимо знать при стыковке космических станций, при посадке самолетов и т.д.

Имеет ли понятие «мгновенной скорости» физический смысл? Скорость – это характеристика изменения в пространстве. Однако, для того, чтобы определить, как изменилось перемещение, необходимо наблюдать за движением в течение некоторого времени. Даже самые совершенные приборы для измерения скорости такие как радарные установки, измеряют скорость за промежуток времени – пусть достаточно малый , однако это все-таки конечный временной интервал, а не момент времени. Выражение «скорость тела в данный момент времени» с точки зрения физики не является корректным. Однако, понятие мгновенной скорости очень удобно в математических расчетах, и им постоянно пользуются.

Примеры решения задач по теме «Мгновенная скорость»

ПРИМЕР 1

ПРИМЕР 2

Задание	Закон движения точки по прямой задается уравнением . Найти мгновенную скорость точки через 10 секунд после начала движения.
Решение	Мгновенная скорость точки – это радиус-вектора по времени. Поэтому для мгновенной скорости можно записать: Через 10 секунд после начала движения мгновенная скорость будет иметь значение:
Ответ	Через 10 секунд после начала движения мгновенная скорость точки м/с.

ПРИМЕР 3

Задание	Тело движется по прямой так, что его координата (в метрах) изменяется по закону . Через сколько секунд после начала движения тело остановится?
Решение	Найдем мгновенную скорость тела:

Если материальная точка находится в движении, то ее координаты подвергаются изменениям. Этот процесс может происходить быстро или медленно.

Определение 1

Величина, которая характеризует быстроту изменения положения координаты, называется скоростью .

Определение 2

Средняя скорость – это векторная величина, численно равная перемещению в единицу времени, и сонаправленная с вектором перемещения υ = ∆ r ∆ t ; υ ∆ r .

Рисунок 1 . Средняя скорость сонаправлена перемещению

Модуль средней скорости по пути равняется υ = S ∆ t .

Мгновенная скорость характеризует движение в определенный момент времени. Выражение «скорость тела в данный момент времени» считается не корректным, но применимым при математических расчетах.

Определение 3

Мгновенной скоростью называют предел, к которому стремится средняя скорость υ при стремлении промежутка времени ∆ t к 0:

υ = l i m ∆ t ∆ r ∆ t = d r d t = r ˙ .

Направление вектора υ идет по касательной к криволинейной траектории, потому как бесконечно малое перемещение d r совпадает с бесконечно малым элементом траектории d s .

Рисунок 2 . Вектор мгновенной скорости υ

Имеющееся выражение υ = l i m ∆ t ∆ r ∆ t = d r d t = r ˙ в декартовых координатах идентично ниже предложенным уравнениям:

υ x = d x d t = x ˙ υ y = d y d t = y ˙ υ z = d z d t = z ˙ .

Запись модуля вектора υ примет вид:

υ = υ = υ x 2 + υ y 2 + υ z 2 = x 2 + y 2 + z 2 .

Чтобы перейти от декартовых прямоугольных координат к криволинейным, применяют правила дифференцирования сложных функций. Если радиус-вектор r является функцией криволинейных координат r = r q 1 , q 2 , q 3 , тогда значение скорости запишется как:

υ = d r d t = ∑ i = 1 3 ∂ r ∂ q i ∂ q i ∂ r = ∑ i = 1 3 ∂ r ∂ q i q ˙ i .

Рисунок 3 . Перемещение и мгновенная скорость в системах криволинейных координат

При сферических координатах предположим, что q 1 = r ; q 2 = φ ; q 3 = θ , то получим υ , представленную в такой форме:

υ = υ r e r + υ φ e φ + υ θ φ θ , где υ r = r ˙ ; υ φ = r φ ˙ sin θ ; υ θ = r θ ˙ ; r ˙ = d r d t ; φ ˙ = d φ d t ; θ ˙ = d θ d t ; υ = r 1 + φ 2 sin 2 θ + θ 2 .

Определение 4

Мгновенной скоростью называют значение производной от функции перемещения по времени в заданный момент, связанной с элементарным перемещением соотношением d r = υ (t) d t

Пример 1

Дан закон прямолинейного движения точки x (t) = 0 , 15 t 2 - 2 t + 8 . Определить ее мгновенную скорость через 10 секунд после начала движения.

Решение

Мгновенной скоростью принято называть первую производную радиус-вектора по времени. Тогда ее запись примет вид:

υ (t) = x ˙ (t) = 0 . 3 t - 2 ; υ (10) = 0 . 3 × 10 - 2 = 1 м / с.

Ответ : 1 м / с.

Пример 2

Движение материальной точки задается уравнением x = 4 t - 0 , 05 t 2 . Вычислить момент времени t о с т, когда точка прекратит движение, и ее среднюю путевую скорость υ .

Решение

Вычислим уравнение мгновенной скорости, подставим числовые выражения:

υ (t) = x ˙ (t) = 4 - 0 , 1 t .

4 - 0 , 1 t = 0 ; t о с т = 40 с; υ 0 = υ (0) = 4 ; υ = ∆ υ ∆ t = 0 - 4 40 - 0 = 0 , 1 м / с.

Ответ: заданная точка остановится по прошествии 40 секунд; значение средней скорости равняется 0 , 1 м / с.

Если вы заметили ошибку в тексте, пожалуйста, выделите её и нажмите Ctrl+Enter

Вторник, а это значит, что сегодня мы снова решаем задачи. На это раз, на тему «свободное падение тел».

Вопросы с ответами на свободное падение тел

Вопрос 1. Как направлен вектор ускорения свободного падения?

Ответ: можно просто сказать, что ускорение g направлено вниз. На самом деле, если говорить точнее, ускорение свободного падения направлено к центру Земли.

Вопрос 2. От чего зависит ускорение свободного падения?

Ответ: на Земле ускорение свободного падения зависит от географической широты, а также от высоты h подъема тела над поверхностью. На других планетах эта величина зависит от массы M и радиус R небесного тела. Общая формула для ускорения свободного падения:

Вопрос 3. Тело бросают вертикально вверх. Как можно охарактеризовать это движение?

Ответ: В этом случае тело движется равноускоренно. Причем время подъема и время падения тела с максимальной высоты равны.

Вопрос 4. А если тело бросают не вверх, а горизонтально или под углом к горизонту. Какое это движение?

Ответ: можно сказать, что это тоже свободное падение. В данном случае движение нужно рассматривать относительно двух осей: вертикальной и горизонтальной. Относительно горизонтальной оси тело движется равномерно, а относительно вертикальной – равноускоренно с ускорением g .

Баллистика – наука, изучающая особенности и законы движения тел, брошенных под углом к горизонту.

Вопрос 5. Что значит «свободное» падение.

Ответ: в данном контексте понимается, что тело при падении свободно от сопротивления воздуха.

Свободное падение тел: определения, примеры

Свободное падение – равноускоренное движение, происходящее под действием силы тяжести.

Первые попытки систематизированно и количественно описать свободное падение тел относятся к средневековью. Правда, тогда было широко распространено заблуждение, что тела разной массы падают с разной скоростью. На самом деле, в этом есть доля правды, ведь в реальном мире на скорость падения сильно влияет сопротивление воздуха.

Однако, если им можно пренебречь, то скорость падающих тел разной массы будет одинакова. Кстати, скорость при свободном падении возрастает пропорционально времени падения.

Ускорение свободно падающих тел не зависит от их массы.

Рекорд свободного падения для человека на данный момент принадлежит австрийскому парашютисту Феликсу Баумгартнеру, который в 2012 году прыгнул с высоты 39 километров и находился в свободном падении 36 402,6 метра.

Примеры свободного падения тел:

• яблоко летит на голову Ньютона;
• парашютист выпрыгивает из самолета;
• перышко падает в герметичной трубке, из которой откачан воздух.

При свободном падении тела возникает состояние невесомости. Например, в таком же состоянии находятся предметы на космической станции, движущейся по орбите вокруг Земли. Можно сказать, что станция медленно, очень медленно падает на планету.

Конечно, свободное падение возможно не только не Земле, но и вблизи любого тела, обладающего достаточной массой. На других комических телах падения также будет равноускоренным, но величина ускорения свободного падения будет отличаться от земной. Кстати, раньше у нас уже выходил материал про гравитацию .

При решении задач ускорение g принято считать равным 9,81 м/с^2. В реальности его величина варьируется от 9,832 (на полюсах) до 9,78 (на экваторе). Такая разница обусловлена вращением Земли вокруг своей оси.

Нужна помощь в решении задач по физике? Обращайтесь в

Скатывание тела по наклонной плоскости (рис. 2);

Рис. 2. Скатывание тела по наклонной плоскости ()

Свободное падение (рис. 3).

Все эти три вида движения не являются равномерными, то есть в них изменяется скорость. На этом уроке мы рассмотрим неравномерное движение.

Равномерное движение – механическое движение, при котором тело за любые равные отрезки времени проходит одинаковое расстояние (рис. 4).

Рис. 4. Равномерное движение

Неравномерным называется движение , при котором тело за равные промежутки времени проходит неравные пути.

Рис. 5. Неравномерное движение

Основная задача механики – определить положение тела в любой момент времени. При неравномерном движении скорость тела меняется, следовательно, необходимо научиться описывать изменение скорости тела. Для этого вводятся два понятия: средняя скорость и мгновенная скорость.

Факт изменения скорости тела при неравномерном движении не всегда необходимо учитывать, при рассмотрении движении тела на большом участке пути в целом (нам не важна скорость в каждый момент времени) удобно ввести понятие средней скорости.

Например, делегация школьников добирается из Новосибирска в Сочи поездом. Расстояние между этими городами по железной дороге составляет приблизительно 3300 км. Скорость поезда, когда он только выехал из Новосибирска составляла , значит ли это, что посередине пути скорость была такой же, а на подъезду к Сочи [М1] ? Можно ли, имея только эти данные, утверждать, что время движения составит (рис. 6). Конечно нет, так как жители Новосибирска знают, что до Сочи ехать приблизительно 84 ч.

Рис. 6. Иллюстрация к примеру

Когда рассматривается движение тела на большом участке пути в целом, удобнее ввести понятие средней скорости.

Средней скоростью называют отношение полного перемещения, которое совершило тело, ко времени, за которое совершено это перемещение (рис. 7).

Рис. 7. Средняя скорость

Данное определение не всегда является удобным. Например, спортсмен пробегает 400 м – ровно один круг. Перемещение спортсмена равно 0 (рис. 8), однако мы понимаем, что его средняя скорость нулю равна быть не может.

Рис. 8. Перемещение равно 0

На практике чаще всего используется понятие средней путевой скорости.

Средняя путевая скорость – это отношение полного пути, пройденного телом, ко времени, за которое путь пройден (рис. 9).

Рис. 9. Средняя путевая скорость

Существует еще одно определение средней скорости.

Средняя скорость – это та скорость, с которой должно двигаться тело равномерно, чтобы пройти данное расстояние за то же время, за которое оно его прошло, двигаясь неравномерно.

Из курса математики нам известно, что такое среднее арифметическое. Для чисел 10 и 36 оно будет равно:

Для того чтобы узнать возможность использования этой формулы для нахождения средней скорости, решим следующую задачу.

Задача

Велосипедист поднимается со скоростью 10 км/ч на склон, затрачивая на это 0,5 часа. Далее со скоростью 36 км/ч спускается вниз за 10 минут. Найдите среднюю скорость велосипедиста (рис. 10).

Рис. 10. Иллюстрация к задаче

Дано: ; ; ;

Найти:

Решение:

Так как единица измерения данных скоростей – км/ч, то и среднюю скорость найдем в км/ч. Следовательно, данные задачи не будем переводить в СИ. Переведем в часы.

Средняя скорость равна:

Полный путь () состоит из пути подъема на склон () и спуска со склона ():

Путь подъема на склон равен:

Путь спуска со склона равен:

Время, за которое пройден полный путь, равно:

Ответ: .

Исходя из ответа задачи, видим, что применять формулу среднего арифметического для вычисления средней скорости нельзя.

Не всегда понятие средней скорости полезно для решения главной задачи механики. Возвращаясь к задаче про поезд, нельзя утверждать, что если средняя скорость на всем пути поезда равна , то через 5 часов он будет находиться на расстоянии от Новосибирска.

Среднюю скорость, измеренную за бесконечно малый промежуток времени, называют мгновенной скоростью тела (для примера: спидометр автомобиля (рис. 11) показывает мгновенную скорость).

Рис. 11. Спидометр автомобиля показывает мгновенную скорость

Существует еще одно определение мгновенной скорости.

Мгновенная скорость – скорость движения тела в данный момент времени, скорость тела в данной точке траектории (рис. 12).

Рис. 12. Мгновенная скорость

Для того чтобы лучше понять данное определение, рассмотрим пример.

Пусть автомобиль движется прямолинейно по участку шоссе. У нас есть график зависимости проекции перемещения от времени для данного движения (рис. 13), проанализируем данный график.

Рис. 13. График зависимости проекции перемещения от времени

На графике видно, что скорость автомобиля не постоянная. Допустим, необходимо найти мгновенную скорость автомобиля через 30 секунд после начала наблюдения (в точке A ). Пользуясь определением мгновенной скорости, найдем модуль средней скорости за промежуток времени от до . Для этого рассмотрим фрагмент данного графика (рис. 14).

Рис. 14. График зависимости проекции перемещения от времени

Для того чтобы проверить правильность нахождения мгновенной скорости, найдем модуль средней скорости за промежуток времени от до , для этого рассмотрим фрагмент графика (рис. 15).

Рис. 15. График зависимости проекции перемещения от времени

Рассчитываем среднюю скорость на данном участке времени:

Получили два значения мгновенной скорости автомобиля через 30 секунд после начала наблюдения. Точнее будет то значение, где интервал времени меньше, то есть . Если уменьшать рассматриваемый интервал времени сильнее, то мгновенная скорость автомобиля в точке A будет определяться более точно.

Мгновенная скорость – это векторная величина. Поэтому, кроме ее нахождения (нахождения ее модуля), необходимо знать, как она направлена.

(при ) – мгновенная скорость

Направление мгновенной скорости совпадает с направлением перемещения тела.

Если тело движется криволинейно, то мгновенная скорость направлена по касательной к траектории в данной точке (рис. 16).

Задание 1

Может ли мгновенная скорость () изменяться только по направлению, не изменяясь по модулю?

Решение

Для решения рассмотрим следующий пример. Тело движется по криволинейной траектории (рис. 17). Отметим на траектории движения точку A и точку B . Отметим направление мгновенной скорости в этих точках (мгновенная скорость направлена по касательной к точке траектории). Пусть скорости и одинаковы по модулю и равны 5 м/с.

Ответ: может.

Задание 2

Может ли мгновенная скорость меняться только по модулю, не меняясь по направлению?

Решение

Рис. 18. Иллюстрация к задаче

На рисунке 10 видно, что в точке A и в точке B мгновенная скорость направлена одинаково. Если тело движется равноускоренно, то .

Ответ: может.

На данном уроке мы приступили к изучению неравномерного движения, то есть движения с изменяющейся скоростью. Характеристиками неравномерного движения являются средняя и мгновенная скорости. Понятие о средней скорости основано на мысленной замене неравномерного движения равномерным. Иногда понятие средней скорости (как мы увидели) является очень удобным, но для решения главной задачи механики оно не подходит. Поэтому вводится понятие мгновенной скорости.

Список литературы

1. Г.Я. Мякишев, Б.Б. Буховцев, Н.Н. Сотский. Физика 10. - М.: Просвещение, 2008.
2. А.П. Рымкевич. Физика. Задачник 10-11. - М.: Дрофа, 2006.
3. О.Я. Савченко. Задачи по физике. - М.: Наука, 1988.
4. А.В. Перышкин, В.В. Крауклис. Курс физики. Т. 1. - М.: Гос. уч.-пед. изд. мин. просвещения РСФСР, 1957.

1. Интернет-портал «School-collection.edu.ru» ().
2. Интернет-портал «Virtulab.net» ().

Домашнее задание

1. Вопросы (1-3, 5) в конце параграфа 9 (стр. 24); Г.Я. Мякишев, Б.Б. Буховцев, Н.Н. Сотский. Физика 10 (см. список рекомендованной литературы)
2. Можно ли, зная среднюю скорость за определенный промежуток времени, найти перемещение, совершенное телом за любую часть этого промежутка?
3. Чем отличается мгновенная скорость при равномерном прямолинейном движении от мгновенной скорости при неравномерном движении?
4. Во время езды на автомобиле через каждую минуту снимались показания спидометра. Можно ли по этим данным определить среднюю скорость движения автомобиля?
5. Первую треть трассы велосипедист ехал со скоростью 12 км в час, вторую треть - со скоростью 16 км в час, а последнюю треть - со скоростью 24 км в час. Найдите среднюю скорость велосипеда на протяжении всего пути. Ответ дайте в км/час